Obvody elektrického proudu
Z MiS
(Rozdíly mezi verzemi)
m (→Metoda postupného zjednodušování: Upozornění - v každém kroku jen paralelní nebo jen sériové) |
(Přidány odkazy na další zdroje) |
||
| (Není zobrazeno 8 mezilehlých verzí od 1 uživatele.) | |||
| Řádka 49: | Řádka 49: | ||
Paralelní kombinace: | Paralelní kombinace: | ||
1 / R<sub>{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>n</sub>}</sub> = 1 / R<sub>a<sub>1</sub></sub> + 1 / R<sub>a<sub>2</sub></sub> + ... + 1 / R<sub>a<sub>n</sub></sub> | 1 / R<sub>{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>n</sub>}</sub> = 1 / R<sub>a<sub>1</sub></sub> + 1 / R<sub>a<sub>2</sub></sub> + ... + 1 / R<sub>a<sub>n</sub></sub> | ||
| + | Vzhledem k tomu, že jsou odpory vždy větší než 0, lze tento vzorec přepsat: | ||
| + | R<sub>{a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>n</sub>}</sub> = ( R<sub>a<sub>1</sub></sub> . R<sub>a<sub>2</sub></sub> . ... . R<sub>a<sub>n</sub></sub> ) / ( R<sub>a<sub>1</sub></sub> + R<sub>a<sub>2</sub></sub> + ... + R<sub>a<sub>n</sub></sub> ) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Příkad == | ||
| + | |||
| + | Zapište vzorec pro výpočet napětí a proudu na všech rezistorech obvodu a proud ze zdroje: | ||
| + | |||
| + | [[Image:obvody_priklad.png]] | ||
| + | |||
| + | Obvod si můžeme překreslit a posléze zjednodušit: | ||
| + | |||
| + | [[Image:obvody_priklad-reseni.png]] | ||
| + | |||
| + | Platí tedy: | ||
| + | * R<sub>2</sub> a R<sub>3</sub> jsou zapojeny sériově, můžeme nahradit za R<sub>23</sub>: | ||
| + | R<sub>23</sub> = R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub> | ||
| + | * Po zjednodušení jsou R<sub>1</sub> a R<sub>23</sub> zapojeny paralelně, můžeme nahradit za R<sub>123</sub>: | ||
| + | R<sub>123</sub> = R = (R<sub>1</sub> . R<sub>23</sub>) / (R<sub>1</sub> + R<sub>23</sub>) = | ||
| + | R<sub>1</sub> . (R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub>) | ||
| + | = -------------- | ||
| + | R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub> | ||
| + | * Proud vycházející ze zdroje spočteme pomocí Ohmova zákona: | ||
| + | U U<sub>Z</sub> . (R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub>) | ||
| + | I = - = ------------------- | ||
| + | R R<sub>1</sub> . (R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub>) | ||
| + | |||
| + | * Podle 2. Kirchhoffova zákona: | ||
| + | U<sub>1</sub> = U<sub>23</sub> = - U<sub>z</sub> | ||
| + | * A tedy podle Ohmova zákona a 1. Kirchhoffova zákona: | ||
| + | I<sub>1</sub> = U<sub>z</sub> / R<sub>1</sub> | ||
| + | I<sub>23</sub> = U<sub>z</sub> / R<sub>23</sub> = U<sub>z</sub> / ( R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub> ) | ||
| + | * Protože podle 1. Kirchhoffova zákona platí: | ||
| + | I<sub>23</sub> = I<sub>2</sub> = I<sub>3</sub> | ||
| + | * můžeme konečně napsat také: | ||
| + | U<sub>2</sub> = I<sub>2</sub> . R<sub>2</sub> = U<sub>z</sub> . R<sub>2</sub> / ( R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub> ) | ||
| + | U<sub>3</sub> = I<sub>3</sub> . R<sub>3</sub> = U<sub>z</sub> . R<sub>3</sub> / ( R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub> ) | ||
| + | |||
== Úkoly == | == Úkoly == | ||
| Řádka 61: | Řádka 99: | ||
# [[Image:obvody8.png]] | # [[Image:obvody8.png]] | ||
# [[Image:obvody9.png]] | # [[Image:obvody9.png]] | ||
| + | |||
| + | === Klíč pro řešení === | ||
| + | <div class="Varovani">Pozor, uvádíme zde pouze nástin postupu, pro úplné řešení je třeba dosadit vzorce a dopočítat!</div> | ||
| + | # R = R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub> + R<sub>3</sub>; I = U<sub>z</sub> / R; U<sub>i</sub> = I.R<sub>i</sub> pro ''i'' ∈ {1, 2, 3} | ||
| + | # 1/R<sub>23</sub> = 1/R<sub>2</sub> + 1/R<sub>3</sub>; R = R<sub>1</sub> + 1/R<sub>23</sub>; I = U<sub>z</sub>/R; U<sub>1</sub> = I.R<sub>1</sub>; U<sub>23</sub> = U<sub>2</sub> = U<sub>3</sub> = U<sub>z</sub> - U<sub>1</sub>; I<sub>i</sub> = U<sub>23</sub>/.R<sub>i</sub> pro ''i'' ∈ {2, 3} | ||
| + | # 1/R<sub>12</sub> = 1/R<sub>1</sub> + 1/R<sub>2</sub>; 1/R<sub>45</sub> = 1/R<sub>4</sub> + 1/R<sub>5</sub>; R = R<sub>12</sub>+R<sub>3</sub>+R<sub>45</sub>; U<sub>z</sub> = U<sub>12</sub>+U<sub>3</sub>+U<sub>45</sub>; U<sub>1</sub> = U<sub>2</sub> = U<sub>12</sub>; U<sub>12</sub> = I.R<sub>12</sub>; U<sub>3</sub> = I.R<sub>3</sub>; U<sub>45</sub> = I.R<sub>45</sub> | ||
| + | # R<sub>12</sub> = R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>; R<sub>34</sub> = R<sub>3</sub> + R<sub>4</sub>; 1/R = 1/R<sub>12</sub> + 1/R<sub>34</sub>; U<sub>z</sub> = U<sub>12</sub> = U<sub>34</sub>; I<sub>12</sub> = I<sub>1</sub> = I<sub>2</sub> = U<sub>z</sub> / R<sub>12</sub>, I<sub>34</sub> analogicky | ||
| + | # Jako příklad 3., jen s vypuštěným rezistorem R<sub>3</sub>. | ||
| + | # Jednoduché. | ||
| + | # Rezistor R3 můžeme zcela vypustit, je připojen paralelně k přímému vodiči, v našem přiblížení (uvažujeme ideální vodič — odpor vodiče nulový) jím tedy nebude protékat žádný proud a nebude na něm napětí. | ||
| + | # Uz = U<sub>4</sub> = U<sub>123</sub>; R<sub>123</sub> = R<sub>2</sub> + (R<sub>1</sub>.R<sub>3</sub>)/(R<sub>1</sub>+R<sub>3</sub>) | ||
| + | # Je třeba postupovat metodou uzlových napětí nebo smyčkových proudů, nenajdeme zde čistě paralelní ani čistě sériové zapojení. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | == Další zdroje == | ||
| + | * [http://uart.cz/192/metoda-postupneho-zjednodusovani/ Metoda postupného zjednodušování (→ μart.cz)] | ||
| + | * [http://user.unob.cz/zaplatilek/ZEL/Tema04.htm#3.2._Metoda_uzlov%C3%BDch_nap%C4%9Bt%C3%AD_%28MUN%29 Metoda uzlových napětí (→ Zaplatílek, Karel. UNOB.cz)] | ||
| + | * [http://uart.cz/30/metoda-smyckovych-proudu/ Metoda smyčkových proudů (→ μart.cz)] | ||
Aktuální verze z 4. 6. 2014, 09:52
Obsah[skrýt] |
Zákony
- Ohmův zákon
- 1. Kirchhoffův zákon
- 2. Kirchhoffův zákon
Viz Wikipedia: Ohmův zákon, Kirchhoffovy zákony
Metody řešení
- Metoda postupného zjednodušování (pro 1 zdroj)
- „Náhledem“ — rozložíme na paralelní a sériové kombinace rezistorů
- Výpočet celkového odporu obvodu.
- Výpočet celkového proudu.
- Dopočítáme napětí a proud na jednotlivých rezistorech.
- „Algoritmické“ metody (lze naprogramovat do počítače)
- Metoda uzlových napětí
- Označíme každý uzel a přiřadíme mu napětí.
- Popíšeme soustavou rovnic vztahy mezi napětími.
- Vyřešíme soustavu rovnic.
- Metoda smyčkových proudů
Metoda postupného zjednodušování
- Touto metodou nelze obecně řešit libovolný obvod, pro jednoduché obvody ale stačí.
- Zjednodušení obvodu lze použít jako první krok před řešením jinou obecnější metodou.
Postup
- V obvodu nalezneme rezistory Ra a Rb, které jsou zapojeny buď paralelně, nebo sériově (jedna z variant).
- Spočteme odpor kombinace rezistorů Ra a Rb podle známých vzorců.
- Nahradíme kombinaci Ra a Rb v obvodu jediným rezistorem Ra, b.
- Pokračujeme bodem 1. Opakujeme tak dlouho, až zůstane jediný rezistor R.
- Spočteme proud, protékající jediným rezistorem R (pomocí Ohmova zákona).
- Postupně se vracíme, nahrazujeme rezistory Ra, b zpět kombinacemi Ra a Rb a počítáme napětí a proud na těchto rezistorech.
- Pro sériovou kombinaci platí, že proud, tekoucí rezistory Ra i Rb, je roven proudu tekoucímu rezistorem Ra, b.
- Pro paralelní kombinaci platí, že napětí na rezistorech Ra i Rb, je rovno napětí na rezistoru Ra, b.
POZOR!!! V každém kroku zjednodušení musí být rezistory Ra a Rb zapojeny buď čistě paralelně, nebo čistě sériově!
Při dostatku zkušeností mohu samozřejmě provádět více kroků zároveň, ale vždy musím každý krok zcela dokončit (i když třeba jen v hlavě) a pak teprve mohu provádět další krok!
Vzorce pro zjednodušování
Sériová kombinace:
R{a1, a2,..., an} = Ra1 + Ra2 + ... + Ran
Paralelní kombinace:
1 / R{a1, a2,..., an} = 1 / Ra1 + 1 / Ra2 + ... + 1 / Ran
Vzhledem k tomu, že jsou odpory vždy větší než 0, lze tento vzorec přepsat:
R{a1, a2,..., an} = ( Ra1 . Ra2 . ... . Ran ) / ( Ra1 + Ra2 + ... + Ran )
Příkad
Zapište vzorec pro výpočet napětí a proudu na všech rezistorech obvodu a proud ze zdroje:
Obvod si můžeme překreslit a posléze zjednodušit:
Platí tedy:
- R2 a R3 jsou zapojeny sériově, můžeme nahradit za R23:
R23 = R2 + R3
- Po zjednodušení jsou R1 a R23 zapojeny paralelně, můžeme nahradit za R123:
R123 = R = (R1 . R23) / (R1 + R23) =
R1 . (R2 + R3)
= --------------
R1 + R2 + R3
- Proud vycházející ze zdroje spočteme pomocí Ohmova zákona:
U UZ . (R1 + R2 + R3)
I = - = -------------------
R R1 . (R2 + R3)
- Podle 2. Kirchhoffova zákona:
U1 = U23 = - Uz
- A tedy podle Ohmova zákona a 1. Kirchhoffova zákona:
I1 = Uz / R1 I23 = Uz / R23 = Uz / ( R2 + R3 )
- Protože podle 1. Kirchhoffova zákona platí:
I23 = I2 = I3
- můžeme konečně napsat také:
U2 = I2 . R2 = Uz . R2 / ( R2 + R3 ) U3 = I3 . R3 = Uz . R3 / ( R2 + R3 )
Úkoly
Zapište vzorec pro výpočet napětí a proudu na všech rezistorech obvodu.
Klíč pro řešení
Pozor, uvádíme zde pouze nástin postupu, pro úplné řešení je třeba dosadit vzorce a dopočítat!
- R = R1 + R2 + R3; I = Uz / R; Ui = I.Ri pro i ∈ {1, 2, 3}
- 1/R23 = 1/R2 + 1/R3; R = R1 + 1/R23; I = Uz/R; U1 = I.R1; U23 = U2 = U3 = Uz - U1; Ii = U23/.Ri pro i ∈ {2, 3}
- 1/R12 = 1/R1 + 1/R2; 1/R45 = 1/R4 + 1/R5; R = R12+R3+R45; Uz = U12+U3+U45; U1 = U2 = U12; U12 = I.R12; U3 = I.R3; U45 = I.R45
- R12 = R1 + R2; R34 = R3 + R4; 1/R = 1/R12 + 1/R34; Uz = U12 = U34; I12 = I1 = I2 = Uz / R12, I34 analogicky
- Jako příklad 3., jen s vypuštěným rezistorem R3.
- Jednoduché.
- Rezistor R3 můžeme zcela vypustit, je připojen paralelně k přímému vodiči, v našem přiblížení (uvažujeme ideální vodič — odpor vodiče nulový) jím tedy nebude protékat žádný proud a nebude na něm napětí.
- Uz = U4 = U123; R123 = R2 + (R1.R3)/(R1+R3)
- Je třeba postupovat metodou uzlových napětí nebo smyčkových proudů, nenajdeme zde čistě paralelní ani čistě sériové zapojení.
