Obvody elektrického proudu

Zákony

• Ohmův zákon
• 1. Kirchhoffův zákon
• 2. Kirchhoffův zákon

Viz Wikipedia: Ohmův zákon, Kirchhoffovy zákony

Metody řešení

Metoda postupného zjednodušování (pro 1 zdroj)

„Náhledem“ — rozložíme na paralelní a sériové kombinace rezistorů

1. Výpočet celkového odporu obvodu.
2. Výpočet celkového proudu.
3. Dopočítáme napětí a proud na jednotlivých rezistorech.

„Algoritmické“ metody (lze naprogramovat do počítače)

1. Metoda uzlových napětí
   1. Označíme každý uzel a přiřadíme mu napětí.
   2. Popíšeme soustavou rovnic vztahy mezi napětími.
   3. Vyřešíme soustavu rovnic.
2. Metoda smyčkových proudů

Metoda postupného zjednodušování

• Touto metodou nelze obecně řešit libovolný obvod, pro jednoduché obvody ale stačí.
• Zjednodušení obvodu lze použít jako první krok před řešením jinou obecnější metodou.

Postup

1. V obvodu nalezneme rezistory R_a a R_b, které jsou zapojeny buď paralelně, nebo sériově (jedna z variant).
2. Spočteme odpor kombinace rezistorů R_a a R_b podle známých vzorců.
3. Nahradíme kombinaci R_a a R_b v obvodu jediným rezistorem R_{a, b}.
4. Pokračujeme bodem 1. Opakujeme tak dlouho, až zůstane jediný rezistor R.
5. Spočteme proud, protékající jediným rezistorem R (pomocí Ohmova zákona).
6. Postupně se vracíme, nahrazujeme rezistory R_{a, b} zpět kombinacemi R_a a R_b a počítáme napětí a proud na těchto rezistorech.
   • Pro sériovou kombinaci platí, že proud, tekoucí rezistory R_a i R_b, je roven proudu tekoucímu rezistorem R_{a, b}.
   • Pro paralelní kombinaci platí, že napětí na rezistorech R_a i R_b, je rovno napětí na rezistoru R_{a, b}.

Vzorce pro zjednodušování

Sériová kombinace:

R{a1, a2,..., an} = Ra1 + Ra2 + ... + Ran

Paralelní kombinace:

1 / R{a1, a2,..., an} = 1 / Ra1 + 1 / Ra2 + ... + 1 / Ran

Vzhledem k tomu, že jsou odpory vždy větší než 0, lze tento vzorec přepsat:

R{a1, a2,..., an} = ( Ra1 . Ra2 . ... . Ran ) / ( Ra1 + Ra2 + ... + Ran )

Příkad

Zapište vzorec pro výpočet napětí a proudu na všech rezistorech obvodu a proud ze zdroje:

Obvod si můžeme překreslit a posléze zjednodušit:

Platí tedy:

• R₂ a R₃ jsou zapojeny sériově, můžeme nahradit za R₂₃:

R23 = R2 + R3

• Po zjednodušení jsou R₁ a R₂₃ zapojeny paralelně, můžeme nahradit za R₁₂₃:

R123 = R = (R1 . R23) / (R1 + R23) = 
     R1 . (R2 + R3)
   = --------------
      R1 + R2 + R3

• Proud vycházející ze zdroje spočteme pomocí Ohmova zákona:

    U   UZ . (R1 + R2 + R3)
I = - = -------------------
    R     R1 . (R2 + R3)

• Podle 2. Kirchhoffova zákona:

U1 = U23 = - Uz

• A tedy podle Ohmova zákona a 1. Kirchhoffova zákona:

I1 = Uz / R1
I23 = Uz / R23 = Uz / ( R2 + R3 )

• Protože podle 1. Kirchhoffova zákona platí:

I23 = I2 = I3

• můžeme konečně napsat také:

U2 = I2 . R2 = Uz . R2 / ( R2 + R3 )
U3 = I3 . R3 = Uz . R3 / ( R2 + R3 )

Úkoly

Zapište vzorec pro výpočet napětí a proudu na všech rezistorech obvodu.

Klíč pro řešení

1. R = R₁ + R₂ + R₃; I = U_z / R; U_i = I.R_i pro i ∈ {1, 2, 3}
2. 1/R₂₃ = 1/R₂ + 1/R₃; R = R₁ + 1/R₂₃; I = U_z/R; U₁ = I.R₁; U₂₃ = U₂ = U₃ = U_z - U₁; I_i = U₂₃/.R_i pro i ∈ {2, 3}
3. 1/R₁₂ = 1/R₁ + 1/R₂; 1/R₄₅ = 1/R₄ + 1/R₅; R = R₁₂+R₃+R₄₅; U_z = U₁₂+U₃+U₄₅; U₁ = U₂ = U₁₂; U₁₂ = I.R₁₂; U₃ = I.R₃; U₄₅ = I.R₄₅
4. R₁₂ = R₁ + R₂; R₃₄ = R₃ + R₄; 1/R = 1/R₁₂ + 1/R₃₄; U_z = U₁₂ = U₃₄; I₁₂ = I₁ = I₂ = U_z / R₁₂, I₃₄ analogicky
5. Jako příklad 3., jen s vypuštěným rezistorem R₃.
6. Jednoduché.
7. Rezistor R3 můžeme zcela vypustit, je připojen paralelně k přímému vodiči, v našem přiblížení (uvažujeme ideální vodič — odpor vodiče nulový) jím tedy nebude protékat žádný proud a nebude na něm napětí.
8. Uz = U₄ = U₁₂₃; R₁₂₃ = R₂ + (R₁.R₃)/(R₁+R₃)
9. Je třeba postupovat metodou uzlových napětí nebo smyčkových proudů, nenajdeme zde čistě paralelní ani čistě sériové zapojení.

Další zdroje

• Metoda postupného zjednodušování (→ μart.cz)
• Metoda uzlových napětí (→ Zaplatílek, Karel. UNOB.cz)
• Metoda smyčkových proudů (→ μart.cz)